O que é e como são calculadas as reservas das seguradoras

O que são reservas técnicas?

As reservas técnicas, também chamadas de provisões técnicas são, simplificadamente, o quanto de dinheiro a seguradora precisa manter (reservar) em seu balanço de modo a arcar com os compromissos que deverá assumir com seus segurados.

O correto dimensionamento das provisões técnicas é de fundamental importância para a saúde financeira da seguradora. Se forem superdimensionadas, prejudicam a distribuição de lucros aos acionistas; se forem subdimensionadas, ameaçam a solvência das empresas. O atuário é o profissional responsável por seu cálculo.

Quais são os tipos de provisões que as seguradoras devem manter?

As provisões se dividem em dois tipos:

  • Compormetidas
  • Não comprometidas.

O que são provisões técnicas comprometidas?

As provisões técnicas comprometidas destinam-se ao atendimento de eventos já ocorridos, avisados ou não à seguradora, e ainda não pagos (“liquidados”, no jargão do mercado). Há, portanto, a obrigação da companhia de indenizar os respectivos segurados. São chamadas de reservas de sinistros. As principais provisões desse tipo são:

  • Provisão de sinistros a liquidar (PSL)
  • Provisão de sinistros ocorridos mas não avisados (IBNR, do inglês “incurred but not reported”)

A diferença entre ambas pode ser visualizada na Figura 1 a seguir: ao longo do período de tempo compreendido entre as datas de ocorrência do sinistro (t0) e de aviso do mesmo (t1), este é chamado de sinistro IBNR, pois nesse intervalo o sinistro já ocorreu e não foi avisado. A partir da data de aviso e até a data de sua liquidação final, isto é, do pagamento da indenização (t2), o sinistro é a chamado “a liquidar”. O mesmo vale para as provisões que são estimativas desses valores.

Figura 1

 

 

A adequação da provisão de sinistros a liquidar, que responde pelo montante de sinistros avisados e ainda não liquidados (pagos), é constituída como estimativa durante o processo de regulação de sinistros. Seu valor estimado deve atender a critérios objetivos e consistentes. Tal valor só se torna exato quando já está precisamente calculado o valor a ser indenizado.A provisão para sinistros ocorridos e não avisados – IBNR – é dimensionada atuarialmente, em função do montante esperado de sinistros ocorridos em riscos assumidos na carteira e não avisados até a data-base das demonstrações financeiras. A estimativa deverá ser fundamentada na informação colhida em bancos de dados sobre a sinistralidade de períodos anteriores, podendo ser feita por ramo ou grupo de ramos.

O que são provisões técnicas não comprometidas?

As provisões técnicas não comprometidas destinam-se a garantir o atendimento de eventos futuros nos quais ainda não existe o compromisso ou a obrigação da seguradora de indenizar o segurado. São chamadas de reservas de prêmios. As principais delas são:

  • Provisão de prêmios não ganhos (PPNG).
  • Provisões matemáticas (PM). Estas são divididas em:
  • Provisões matemáticas de benefícios a conceder (PMBAC) e
  • Provisões matemáticas de benefícios concedidos (PMBC).

A PPNG é constituída para a parcela de riscos em curso, ou seja, ainda não expirados e que podem gerar sinistros. No fim da vigência da apólice, essa provisão é zerada no passivo (obrigações) da empresa e todo o seu valor é reconhecido na demonstração do resultado como receita, na rubrica chamada de “prêmios ganhos”. A Figura 2 abaixo ilustra o conceito. Na data de cálculo da provisão (t1), uma parcela do risco já expirou (de t0 a t1), dando origem a um prêmio ganho. A parcela vigente do risco até o fim do contrato (t2) corresponde à PPNG.

Figura 2

 

As provisões matemáticas são a diferença entre os valores dos compromissos assumidos do segurador com os segurados e destes com o segurador. Aplicam-se essencialmente a contratos de médio e longo prazo, daí serem constituídas pelas empresas que tipicamente os operam, como companhias de seguros de pessoas e entidades de previdência complementar.

 O que é a provisão de sinistros ocorridos mas não avisados (IBNR)?

A provisão IBNR é uma estimativa das indenizações de sinistros ocorridos num determinado período (que pode ser bimestre, trimestre, semestre ou ano) e, por razões diversas, não avisados nesse mesmo período, mas em datas posteriores. Existem várias metodologias para o cálculo dessa provisão.

Na legislação brasileira, a provisão deve ser constituída mensalmente. A Superintendência de Seguros Privados (Susep) não determina nenhuma metodologia específica de cálculo, cabendo a cada seguradora desenvolver o método estatístico mais adequado às características de suas operações. No entanto, a Susep analisará a consistência dos valores constituídos, podendo, a qualquer tempo, determinar os ajustes necessários. A metodologia adotada deve estar definida em “nota técnica atuarial”, isto é, no documento que detalha as bases técnicas necessárias para o cálculo da provisão.

Exemplo de cálculo da provisão IBNR

 O método de cálculo mais simples tem por base o chamado “triângulo de run-off” de ocorrência de avisos de sinistros. O termo “run-off”, em inglês, se refere à extinção natural das responsabilidades do segurador por todos os sinistros cujos fatos geradores ocorreram durante a vigência de uma dada apólice ou de um conjunto de apólices, mesmo que tenham sido avisados após tal prazo.

Um exemplo numérico simples ilustra o cálculo. A Figura 3 abaixo apresenta um hipotético triângulo de run-off anual. Nas linhas estão os avisos de sinistros ocorridos em cada ano e, nas colunas, os anos de ocorrência dos fatos geradores desses sinistros.

Assim, por exemplo, o valor de 223 unidades monetárias representa as indenizações de sinistros cujos fatos geradores ocorreram em 2009 e cujos avisos aconteceram também em 2009. Já o valor 29 representa as indenizações de sinistros cujos fatos geradores ocorreram em 2009 mas cujos avisos se deram cinco anos à frente, inclusive 2009, ou seja, em 2013. O valor 411 constitui os sinistros cujos fatos geradores ocorreram em 2011 e foram avisados dois anos à frente, inclusive 2011, ou seja, em 2012. O valor 384 responde por sinistros cujos fatos geradores aconteceram em 2013 e cujos avisos ocorreram também em 2013, e assim por diante.

Figura 3: Exemplo de triângulo de run-off para cálculo da provisão IBNR

A seguradora, ainda nesse caso, se encontra na virada de 2013 para 2014 e precisa calcular estimativamente a provisão IBNR que deve fazer em 2014 para os sinistros ocorridos mas não avisados de 2009 até final de 2013.

Para tal, o passo seguinte é calcular os avisos de sinistros acumulados (somados) até o final de cada ano de aviso. Isso está mostrado na Figura 4. Então, novamente: o valor 223 representa os sinistros cujos fatos geradores ocorreram em 2009 e cujos avisos se deram também em 2009. Já o valor 942 determina sinistros cujos fatos geradores ocorreram em 2009 e cujos avisos aconteceram em todos os cinco anos à frente, inclusive 2009, ou seja, em 2009, 2010, …, 2013. O valor 723 responde por sinistros cujos fatos geradores ocorreram em 2011 e cujos avisos se deram dois anos à frente, inclusive 2011, ou seja, em 2011 e 2012, e assim por diante.

Figura 4: Exemplo de triângulo de run-off acumulado para cálculo da provisão IBNR

Além disso, a seguradora, por sua experiência pregressa, tem a seguinte informação adicional (Quadro 1 abaixo): no ano de 2005, os avisos totais de sinistros com fatos geradores nesse ano foram de 830, e os avisados nos cinco anos à frente que incluem 2005, logo, até 2009, foram de 780. Idem para os sinistros com ano de ocorrência em 2006: os avisos totais foram 890, mas os avisados nos cinco anos à frente, até 2010, foram 810. Mesma coisa para 2007. Essas cifras nos permitem calcular, para cada ano, a razão entre os totais de avisos de sinistros e os avisos acumulados nos cinco anos à frente. Essas razões estão na última coluna da direita: para 2005 é 94%, para 2006, 91%, e para 2007, 93%. Na soma dos três anos, o percentual é de 92,6%.

Quadro 1: Exemplo de experiência passada de avisos de sinistros

Duas suposições são fundamentais para finalizar o cálculo da provisão IBNR em 2014.

Suposição 1: os avisos acumulados cinco anos à frente de 2009, este inclusive (logo, até o ano de 2013), terão a mesma razão da média de 2005 a 2007 (= 92,6%). Logo, o total de avisos de sinistros relativos ao ano de ocorrência de 2009 será de 1.017 (= 942 ÷ 0,926). Portanto, a provisão IBNR em 2014 é de 75 (= 1.017 – 942). Isso está mostrado no Quadro 2 abaixo:

Quadro 2: Provisão IBNR em 2014 para sinistros com fato gerador em 2009

Suposição 2: os avisos acumulados em cinco anos relativos aos anos de ocorrência seguintes (2010 a 2013) terão as mesmas razões estimadas para 2009 (no Quadro 2).

Assim, a estimativa dos avisos totais referentes ao ano de ocorrência de 2010 é de 1.152 (= 1.034 ÷ 0,9), e a provisão IBNR respectiva é de 118 (= 1.152 -1.034). A estimativa dos avisos totais referentes ao ano de ocorrência de 2011 é de 1.292 (= 999 ÷ 0,77). A provisão IBNR respectiva é de 293 (= 1.292 – 999), e assim por diante. A provisão IBNR total estimada em 2014 e relativa aos sinistros ocorridos e não avisados de 2009 a 2013 é a soma das IBNR anuais, portanto, 2.571, como mostrado no Quadro 3 abaixo.

Quadro 3: Provisão IBNR em 2014 para sinistros com fato gerador de 2009 a 2013

 

 

Fatores subjetivos no cálculo da provisão IBNR

O leitor atento certamente se perguntará: a) por que fixar em cinco anos o prazo para o cálculo da provisão IBNR? Por que não usar três, quatro ou seis anos, por exemplo? b) a seguradora do exemplo tinha uma experiência passada que lhe permitiu utilizar dados de 2005 a 2007 para o cálculo da IBNR de 2014, mas e as seguradoras que estão entrando no mercado? E as que operam em linhas de negócio instáveis? Como calculariam a referida provisão?

O número de anos de experiência é subjetivo, logo, arbitrário. Cabe ao atuário examinar outras possibilidades e usar seu julgamento para escolher o melhor número. De qualquer modo, a técnica do triângulo de run-off é exata quando se pode esperar que os padrões do desenvolvimento do passado continuem no futuro. Se não é este o caso ou se faltam tais dados passados, ou, ainda, em linhas de negócio muito instáveis o citado método não produz estimativa precisa das reservas de sinistro e pode ser impróprio. Nesse caso, outros métodos de cálculo (como os modelos de Bornhuetter-Ferguson, das indenizações esperadas, de Mack, etc) devem ser usados.

 O que é a provisão de sinistros a liquidar (PSL)?

O processo de pagamento da indenização começa quando o sinistro é reportado à companhia seguradora. Entretanto, pode haver uma demora, de alguns dias a vários anos, até que a indenização seja efetivamente paga. O seguro de automóvel se encaixa no primeiro caso, e o seguro de responsabilidade civil, no segundo, pois não é incomum que a Justiça seja acionada para determinar a parcela de responsabilidade que cabe à seguradora indenizar.

Quando o sinistro é informado, a seguradora deve constituir a PSL. Esta deve corresponder, na data de sua avaliação, ao montante total de indenizações a pagar por sinistros ocorridos e já avisados.

Há, em síntese, dois métodos de estimativa da PSL: a) individual, quando o número de sinistros é pequeno e há detalhes suficientes para uma boa avaliação da indenização (exemplo: para um determinado modelo de carro, o custo de reparar uma parte do veículo ou trocar uma peça defeituosa) e b) estatística, quando há grande quantidade de sinistros e riscos semelhantes de modo que a estimativa individual é muito demorada e a média obtida com base no ocorrido em períodos anteriores é uma boa aproximação do futuro.

Exemplo de cálculo da provisão PSL

Dentre os métodos estatísticos, o do triângulo de “run-off”, utilizado para cálculo da provisão IBNR, serve também para o cálculo da PSL.

Assim, utilizando os mesmos dados do exemplo acima, o valor de 223 unidades monetárias representará agora não mais as indenizações de sinistros com fatos geradores ocorridos em 2009 e avisos ocorridos também em 2009, mas as indenizações de sinistros cujos avisos ocorreram em 2009 e cujas indenizações foram pagas também em 2009. O valor 29 representará as indenizações de sinistros com avisos acontecidos em 2009, mas com indenizações pagas cinco anos à frente, inclusive 2009, ou seja, em 2013. O valor 411 significará os sinistros cujos avisos se deram em 2011 e cujas indenizações foram pagas dois anos à frente, inclusive 2011, ou seja, em 2012. O valor 384 representa os sinistros com avisos ocorridos em 2013 e indenizações pagas também em 2013, e assim por diante, como está na Figura 5 abaixo.

Figura 5: Exemplo de triângulo de run-off acumulado para cálculo da PSL

O resto do cálculo processa-se da mesma forma que o da provisão IBNR, sempre realizando-se a substituição “ano de ocorrência dos fatos geradores” por “ano de avisos de sinistros” e “avisos de sinistros” por “indenizações pagas”. Deste modo, a PSL no início do ano de 2014 (ou seja, a estimativa dos pagamentos de sinistros que a seguradora terá de fazer nesse ano) é de 2.571.

 A provisão de sinistros a liquidar no Brasil

No Brasil, a PSL é constituída mensalmente e os critérios técnicos para sua constituição são os seguintes:

  • A PSL deve ser calculada de acordo com metodologia descrita em nota técnica atuarial considerando indenizações e despesas relacionadas, inclusive nos casos referentes às indenizações que dependem de ações judiciais.
  • A Susep pode, a qualquer tempo, conforme necessário, determinar à sociedade seguradora a utilização de método específico para o cálculo dessa provisão. A empresa pode, então, encaminhar à Susep solicitação para a utilização de método próprio, cuja aplicação dependerá de prévia autorização.
  • A metodologia a ser desenvolvida para o cálculo da PSL deve considerar a data de aviso do sinistro como sendo aquelas do efetivo registro por parte da seguradora. A PSL de um dado sinistro é zerada no passivo da seguradora (baixada) quando há o real recebimento da indenização pelo segurado ou beneficiário, sendo seu valor reconhecido como despesa na demonstração de resultados na rubrica “indenizações avisadas”.
  • Os sinistros a serem considerados na metodologia de cálculo da PSL devem ser registrados tomando-se por base: a) o valor acordado entre segurado e seguradora; b) o valor reclamado pelo segurado, quando aceito pela seguradora; c) o valor estimado pela seguradora, quando não tenha o segurado indicado a avaliação do sinistro; d) o valor igual à metade da soma da importância reclamada pelo segurado e da oferecida pela seguradora, no caso de divergência de avaliação, limitado à importância segurada do risco coberto no sinistro; e) o valor resultante de sentença transitada em julgado; f) o valor máximo de responsabilidade por vítima ou por evento e por tipo de dano, nos seguros obrigatórios de responsabilidade civil.

O que é e como se calcula a provisão de prêmios não ganhos (PPNG)?

A PPNG, numa determinada data, digamos , para uma apólice cujo início de vigência ocorre na data  e final na data , é uma provisão matematicamente exata formada pelo valor resultante da fórmula abaixo:

A base de cálculo corresponde, com alguns ajustes para cosseguros e resseguros feitos, ao valor do prêmio comercial, isto é, o prêmio efetivamente cobrado dos segurados. O cálculo é feito em dias. A diferença entre a PPNG e o prêmio comercial corresponde ao conceito de “prêmio ganho”.

Exemplo: Suponha uma apólice emitida com prêmio comercial de R$ 1.200, sem cosseguro ou resseguro. Sua vigência é aquela entre 01/01/2015 e 31/12/2015. Deseja-se saber o valor da PPNG em 26/04/2015. De 26/04/2015 a 31/12/2015 houve 249 dias. Assim, o valor da PPNG seria de R$ 818,63 (= R$ 1.200 x 249 dias ÷ 365 dias). Por outro lado, o valor do prêmio ganho em 26/04/2015 seria de R$ 381,37.

 O que são provisões matemáticas?

As provisões matemáticas se aplicam essencialmente a contratos de médio e longo prazos, como seguros de pessoas e planos de previdência complementar.

De modo geral, todas as provisões dependem de algum tipo de cálculo, ou seja, são matemáticas, mas o termo ficou usualmente restrito às provisões de contratos como os mencionados acima. Isso porque a sistemática de cálculo é mais complicada, em comparação à metodologia mais simples das reservas de contratos de seguros de curto prazo, como PPNG, PSL e IBNR.

Como surgiram as provisões matemáticas?

As provisões matemáticas surgiram devido à divergência entre os chamados “prêmios nivelados” e as respectivas taxas de risco ao longo do contrato. No Quadro 4 está o extrato de uma tábua de mortalidade recente do IBGE: um homem de 49 anos que compra um seguro de vida válido por seis anos e renovável a cada ano tem uma probabilidade de morte de 0,737% no ano seguinte, a qual sobe a 1,053% quanto atinge 55 anos.

Quadro 4: Extrato de tábula de mortalidade brasileira

Se o capital segurado for de R$ 100 mil, o prêmio estatístico exato seria de R$ 73,7 no primeiro ano (R$ 100 mil x 0,737%), subindo a R$ 105,3 no sexto ano. Logo, alta de 42,9%. Se o segurado estender o contrato até os 70 anos, pagará um prêmio estatístico exato de R$ 3.150 nesse ano, devido ao fato de que a probabilidade de morte aumenta para 3,15%.

 O que são “prêmios nivelados”?

Para evitar essa alta expressiva e contínua dos prêmios de seguros e viabilizar contratos de longo prazo, as seguradoras inventaram a técnica do “prêmio nivelado”. Por ela, o segurado paga um prêmio anual e constante, que compensa exatamente a seguradora pela falta de recebimento de um prêmio único capaz de cobrir o total do risco.

Se tomarmos a média dos prêmios de risco anuais e desconsiderarmos o juro que a seguradora aufere ao aplicar as reservas no mercado financeiro, verificaremos que o segurado pagaria R$ 88,85 durante seis anos, de 50 a 55, valor superior ao prêmio estatístico inicial e inferior ao final. O cálculo do prêmio nivelado é mais complexo do que isso (ver adiante), mas a ideia é similar.

A existência do prêmio nivelado gera uma divergência entre o que o segurado paga nos primeiros anos do contrato – uma quantia maior que o seu risco – e nos últimos anos, uma quantia menor que o seu risco. Essa divergência dá origem à necessidade da provisão matemática, pois a seguradora entra em posse de uma receita extra do segurado nos primeiros anos do contrato, que deve ser suficiente para cobrir a falta de receita nos anos finais. O gráfico a seguir ilustra a questão.

Gráfico: Prêmio nivelado versus prêmio estatístico no seguro de vida

Entre as idades (a) e (b), o prêmio nivelado é maior que o prêmio estatístico (igual ao risco de morte), havendo, portanto, um superávit; acima da idade (b) ele é menor, mostrando um déficit. A provisão matemática é o montante que a seguradora, operando na técnica do prêmio nivelado, deve guardar para, em qualquer momento e ao longo do contrato, ser capaz de pagar todas as indenizações de sinistros que prometeu.

Se operasse na técnica do prêmio anual igual ao risco anual, tal reserva seria bem menor. Isso porque a cada ano seria calculada para pagar apenas indenizações, as demais despesas e o lucro da companhia daquele ano.

 Como se constitui a provisão matemática de benefícios a conceder (PMBAC)?

A PMBAC deve ser constituída para a cobertura dos compromissos assumidos com os participantes ou segurados enquanto o evento gerador do benefício não tenha ocorrido, ou seja, enquanto está havendo o pagamento de prêmios.

O conceito é fácil de entender, se lembrarmos que um plano de aposentadoria ou um seguro de vida de longo prazo é tipicamente dividido em duas fases. Há uma de “acumulação”, em que o segurado paga prêmios ou contribuições, e outra de “benefício”, em que, ocorrido o evento gerador do benefício, cessam tais pagamentos e começa o recebimento de rendas, pecúlios, aposentadorias ou pensões.

A PMBAC deve ser calculada conforme metodologia aprovada em nota técnica atuarial do plano ou produto. A provisão deve ser baixada (reduzida) quando se dá o evento gerador do benefício, sendo tal valor incluído na PMBC.

 Como se constitui a provisão matemática de benefícios concedidos (PMBC)?

A PMBC deve ser constituída depois de ocorrido o evento gerador do benefício, portanto, tendo já cessado o pagamento de prêmios ou contribuições, e para a cobertura dos compromissos assumidos com os participantes ou segurados, sendo calculada conforme metodologia aprovada em nota técnica atuarial do plano ou produto. A provisão abrange apenas as rendas a vencer. Os valores relativos a rendas vencidas e não pagas constantes da PMBC deverão ser deduzidos dela e somados à PSL.

 Quais os métodos para o cálculo das provisões matemáticas?

Existem dois métodos de cálculo dessas provisões num dado período:

  1. No cálculo retrospectivo, a provisão é a diferença acumulada entre os compromissos passados do cliente para com a seguradora e os compromissos passados da seguradora para com os clientes; e
  2. No cálculo prospectivo, a provisão é a diferença trazida a valor presente entre os compromissos futuros da empresa para com seus clientes e os compromissos futuros destes para com aquela.

Os dois métodos chegam a idêntico resultado, se mantidas as mesmas hipóteses (expectativa de sinistro, taxas de juros, etc). Caso contrário, o método prospectivo é mais adequado, pois permite introduzir mudanças no cálculo e assim ajustar as reservas de modo a reequilibrar o contrato.

Exemplo de cálculo de provisão matemática

Um exemplo simples ilustra o cálculo da provisão matemática. Suponha que uma seguradora disponha de uma carteira que reúne um grupo de 1.000 homens de 30 anos que decidiram comprar um seguro de vida no valor de R$ 100.000 cada um, com vigência de cinco anos. Todos pretendem custear a apólice pagando prêmios constantes e anuais por esse período. Como já dito, a provisão matemática decorre desse fato, isto é, da escolha pelo segurado de pagar prêmios nivelados ao invés de um prêmio único.

A primeira ação é, então, calcular o prêmio único do contrato e, a partir daí, o prêmio nivelado periódico correspondente.

A seguradora pagará aos beneficiários R$ 100.000 se um segurado do grupo morrer em cinco anos, ou nada, se este sobreviver. O ponto fundamental, portanto, é saber qual a probabilidade de o segurado morrer. Suponha que, para isso, a empresa lance mão de uma tábua de mortalidade como aquela mostrada abaixo no Quadro 5 abaixo.

Quadro 5: Extrato de tábua de mortalidade norte-americana CSO 1980

1° Passo: cálculo do prêmio “estatístico” anual

A tábua mostra que, de uma população de 10 milhões de nascituros do sexo masculino, havia, aos 30 anos, 9.579.998 vivos e que, durante o ano em questão houve 16.573 óbitos. A probabilidade de morte em um ano, ou seja, de um indivíduo de 30 anos não chegar aos 31 anos, é de 0,173%. Por conseguinte, a probabilidade de sobrevida é de 99,827%. Mais: ao final do quinto ano, começando aos 30 anos, a população tinha caído para 9.510.732, logo, havendo uma mortalidade acumulada de 88.287.

O prêmio estatístico no primeiro ano é igual ao capital segurado vezes a probabilidade de morte nesse ano (0,173%), o que dá R$ 173 por segurado. Há, porém, um ajuste adicional a fazer: a seguradora recebe o prêmio no início do contrato e pode aplicá-lo no mercado financeiro auferindo juros. Supondo que pague as indenizações ao final do ano, esse juro significa que precisaria de menos de R$ 173 para fazer frente a tal responsabilidade. Se a taxa de juros for de 6% ao ano, o prêmio estatístico desse primeiro ano cai para R$ 163,2, ou seja, os R$ 173 descontados a 6%. Fazendo-se o mesmo pelos quatro anos restantes do contrato, tem-se o prêmio estatístico único, que nada mais é do que soma dos prêmios de risco anuais, no caso, R$ 773,3 por segurado. O Quadro 6 abaixo mostra o cálculo.

Quadro 6: Cálculo do prêmio puro de risco ou estatístico

2° Passo: cálculo do prêmio nivelado anual

O passo seguinte é calcular o prêmio nivelado anual que corresponde ao prêmio único de R$ 773,3. O cálculo deve ser tal que para a seguradora seja indiferente receber tal prêmio no início do contrato ou em cinco pagamentos anuais.

Este parece um caso simples de equivalência de capitais que qualquer analista financeiro resolveria sem maiores complicações. Em seguros há, entretanto, um complicador que não existe em operações bancárias: pela própria natureza do negócio, o sinistro pode ocorrer – no caso, o segurado falecer – e ficar faltando um ou mais dos prêmios nivelados anuais que o segurado deveria pagar à seguradora.

Assim, além da taxa de juros que converte valores únicos em valores parcelados e vice-versa, a seguradora deve levar em conta a probabilidade de sobrevivência dos segurados nos próximos cinco anos, obviamente menor que 100%. O Quadro 7 abaixo mostra o cálculo.

Quadro 7: Cálculo do prêmio nivelado

O fator de desconto financeiro é igual a “1” no primeiro ano devido ao fato de o prêmio nivelado ser também pago no início do contrato, como no caso do prêmio único. A probabilidade de sobrevida, sendo menor que 1, reduz o fator de desconto financeiro e, portanto, também a soma dos diversos fatores anuais (4,4589) que são divisores do prêmio único de R$ 773,3. A explicação disso vem da matemática financeira e ultrapassa o escopo dessa nota; o leitor interessado pode consultar qualquer bom livro da matéria.

A taxa de sobrevida que torna o pagamento do prêmio nivelado um evento incerto majora o seu valor em comparação ao que ocorreria se o pagamento fosse certo, isto é, se não houvesse a possibilidade de morte do segurado. De fato, no exemplo acima, o prêmio nivelado anual é de R$ 173,4 por segurado. Já o valor anual certo equivalente ao capital de R$ 773,3 seria de R$ 173,2.

3° Passo: cálculo da provisão matemática

De posse desses dados e da expectativa de sinistros extraída da tábua de mortalidade estamos em condições de calcular a provisão matemática desse grupo de segurados. Como se trata de contratos de cinco anos, vamos calcular o movimento da provisão ao longo de todo o período. O método é retrospectivo, ou seja, a cada ano, computamos as receitas de prêmios e os juros auferidos por meio destas, e deduziremos as despesas esperadas com sinistro, sendo o resíduo a reserva matemática ao final do referido ano. Os resultados estão no Quadro 8 abaixo.

Quadro 8: Evolução da provisão matemática ao longo do contrato

No início de cada ano, os segurados sobreviventes pagam o prêmio exigido de R$ 173,4 por seguro. No começo do primeiro ano são 1.000 segurados, número que cai para 993 no início do quinto ano. Durante o ano, o saldo inicial acrescido desses prêmios é aplicado no mercado financeiro e rende juros de 6% ao ano. No final de cada ano, a seguradora paga o valor esperado de indenizações por morte, conforme a tábua de mortalidade.

No terceiro ano, por exemplo, a probabilidade de morte é de 0,178% sobre o grupo inicial de 1.000 segurados, o que corresponde a R$ 178.000 de despesas com indenizações. Como 0,178% de mortes sobre um grupo de 1.000 segurados daria exatamente 1,78 mortes, arredondamos para duas mortes no ano, e assim para os demais anos do exemplo. O saldo de recursos ao final do ano é o saldo no início do ano, acrescido da diferença entre recebimentos de prêmios e juros e pagamentos de indenizações. Dividindo o saldo final de cada ano pelo número de segurados sobreviventes, obtém-se a provisão matemática por apólice ativa.

Prêmio nivelado versus despesas com sinistros do contrato

 Nos primeiros anos, a provisão pode ser considerada como o excesso de pagamento de prêmios (superiores ao risco) mais os juros sobre as despesas com sinistros e que é compensada pela falta que ocorre nos anos finais do contrato. O Quadro 9 abaixo mostra esse fato. Nos anos iniciais da apólice, com juros adicionados, os segurados pagam acima da mortalidade prevista, de modo que pagamentos insuficientes frente à mortalidade possam ser feitos nos últimos anos. No quinto ano, último ano do contrato, esse “déficit” é máximo, mas todas as promessas contratuais foram cumpridas pela companhia de seguros e todos os montantes foram liquidados. A provisão final não foi zerada devido aos arredondamentos mencionados acima.

Quadro 9: Diferença entre prêmio nivelado e risco ao longo do contrato


Com ajustes, tal metodologia de cálculo aplica-se a outros produtos de seguros de pessoas, como seguro dotal, seguro de vida inteira, planos de previdência privada e anuidades.

Quando existem benefícios diferidos, isto é, em fases posteriores às dos prêmios e contribuições, a provisão matemática se divide em duas: aquelas já mencionadas provisões matemáticas de benefícios a conceder (PMBAC) e de benefícios concedidos (PMBC). Para um produto, a mesma metodologia de cálculo da provisão se aplica, sendo a diferença da PMBAC para a PMBC a zeragem. Nesse último caso, da receita de prêmios ou contribuições, visto que esta é calculada dentro do período de benefícios.